개요
L∞ 노름-infinity norm), 최대 노름(maximum norm), 균등 노름(uniform norm), 서프리멈 노름(supremum norm)은 벡터 공간 또는 함수 공간에서 벡터나 함수의 크기를 측정하는 방법 중 하나로, 선형대수학과 함수해석학에서 중요한 역할을 한다. L∞ 노름은 벡터의 성분 중 절댓값이 가장 큰 값을 취하여 벡터의 크기를 정의한다. 이는 다른 Lp 노름들(L¹, L² 등)과는 달리 벡터의 전체적인 분포보다는 극단적인 성분(outlier)에 더 민감하게 반응하는 특성을 가진다.
L∞ 노름은 특히 수치해석, 최적화 문제, 오차 분석, 신호 처리 등에서 널리 사용되며, 최악의 경우 성능을 평가하는 데 유용하다.
정의
벡터에 대한 L∞ 노름
n차원 실수 벡터 ( \mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n )에 대한 L∞ 노름은 다음과 같이 정의된다:
[
|\mathbf{x}|\infty = \max{1 \leq i \leq n} |x_i|
]
즉, 벡터의 각 성분의 절댓값 중 가장 큰 값을 L∞ 노름으로 정의한다.
예시
벡터 ( \mathbf{x} = (3, -7, 2, 5) )에 대해:
[
|\mathbf{x}|_\infty = \max(|3|, |-7|, |2|, |5|) = 7
]
함수에 대한 L∞ 노름
연속 함수 ( f: X \to \mathbb{R} ) 또는 ( f: X \to \mathbb{C} )에 대해서도 L∞ 노름을 정의할 수 있다. 정의역 ( X ) 위에서 함수의 절댓값의 상한(supremum)을 취한다.
[
|f|\infty = \sup{x \in X} |f(x)|
]
만약 ( f )가 닫힌 유계 구간에서 연속이라면, 최대값이 존재하므로 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다:
[
|f|\infty = \max{x \in X} |f(x)|
]
이 경우, L∞ 노름은 함수의 균등 수렴(uniform convergence)과 관련이 깊다.
Lp 노름과의 관계
L∞ 노름은 일반적인 Lp 노름의 ( p \to \infty )일 때의 극한으로 이해할 수 있다. 즉, 벡터 ( \mathbf{x} )에 대해:
[
\lim_{p \to \infty} |\mathbf{x}|p = |\mathbf{x}|\infty
]
여기서 ( |\mathbf{x}|p = \left( \sum{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} )이다.
직관적 설명
p가 커질수록 큰 성분이 노름 계산에 더 영향을 미친다. 따라서 ( p \to \infty )일 때, 가장 큰 성분이 압도적으로 두드러지게 되고, 결국 최대값만이 남게 된다.
성질
L∞ 노름은 다음과 같은 노름의 공리를 만족한다:
- 비음성성: ( |\mathbf{x}|\infty \geq 0 ), 그리고 ( |\mathbf{x}|\infty = 0 )일 필요충분조건은 ( \mathbf{x} = \mathbf{0} )
- 동차성: ( |\alpha \mathbf{x}|\infty = |\alpha| \cdot |\mathbf{x}|\infty ) (모든 스칼라 ( \alpha ))
- 삼각 부등식: ( |\mathbf{x} + \mathbf{y}|\infty \leq |\mathbf{x}|\infty + |\mathbf{y}|_\infty )
또한, L∞ 노름은 치환 불변성(permutation invariance)을 가지며, 벡터 성분의 순서에 영향을 받지 않는다.
응용 분야
1. 수치해석
수치해석에서 오차를 평가할 때, 절대 오차의 최댓값을 측정하기 위해 L∞ 노름을 사용한다. 예를 들어, 근사해 ( \mathbf{u}_h )와 참값 ( \mathbf{u} ) 사이의 오차 벡터 ( \mathbf{e} = \mathbf{u}_h - \mathbf{u} )에 대해:
[
|\mathbf{e}|_\infty = \max_i |e_i|
]
이 값은 최악의 경우 오차(worst-case error)를 나타내며, 안정성 분석에 중요하다.
2. 최적화
L∞ 노름은 미니맥스 최적화(minimax optimization) 문제에서 자주 등장한다. 예를 들어, 다음과 같은 문제:
[
\min_{\mathbf{x}} \max_i |a_i^T \mathbf{x} - b_i|
]
이는 ( \min |\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b}|_\infty ) 형태로 표현되며, 선형계획법으로 변환 가능하다.
3. 신호 처리
신호의 피크 크기(peak magnitude)를 측정할 때 L∞ 노름을 사용한다. 예를 들어, 디지털 오디오 신호의 최대 진폭을 평가하는 데 유용하다.
4. 제어론
시스템의 외란 억제 성능을 평가할 때, H∞ 제어 이론에서 L∞ 노름이 주파수 도메인에서의 전달 함수의 최대 이득을 측정하는 데 사용된다.
관련 개념
| 개념 |
설명 |
| L¹ 노름 |
( |\mathbf{x}|_1 = \sum |
| L² 노름 |
( |\mathbf{x}|_2 = \sqrt{\sum |
| Lp 노름 |
일반화된 노름: ( |\mathbf{x}|_p = \left(\sum |
| 노름 공간 |
노름이 정의된 벡터 공간, 특히 ( L^\infty ) 공간은 유계 함수들의 공간 |
참고 자료 및 관련 문서
결론
L∞ 노름은 벡터 또는 함수의 가장 큰 절댓값 성분을 기준으로 크기를 측정하는 간단하면서도 강력한 도구이다. 특히 최악의 상황을 평가하거나 균등한 경계를 설정할 필요가 있는 분야에서 핵심적인 역할을 한다. 다른 Lp 노름들과 함께, L∞ 노름은 선형대수학과 응용수학 전반에서 기초적인 개념으로 자리 잡고 있으며, 수학적 분석과 공학적 응용 모두에서 필수적인 요소로 여겨진다.
# L∞ 노름
## 개요
L∞ 노름-infinity norm), **최대 노름**(maximum norm), **균등 노름**(uniform norm), **서프리멈 노름**(supremum norm)은 벡터 공간 또는 함수 공간에서 벡터나 함수의 크기를 측정하는 방법 중 하나로, 선형대수학과 함수해석학에서 중요한 역할을 한다. L∞ 노름은 벡터의 성분 중 **절댓값이 가장 큰 값**을 취하여 벡터의 크기를 정의한다. 이는 다른 Lp 노름들(L¹, L² 등)과는 달리 벡터의 전체적인 분포보다는 **극단적인 성분**(outlier)에 더 민감하게 반응하는 특성을 가진다.
L∞ 노름은 특히 수치해석, 최적화 문제, 오차 분석, 신호 처리 등에서 널리 사용되며, 최악의 경우 성능을 평가하는 데 유용하다.
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## 정의
### 벡터에 대한 L∞ 노름
n차원 실수 벡터 \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \)에 대한 L∞ 노름은 다음과 같이 정의된다:
\[
\|\mathbf{x}\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|
\]
즉, 벡터의 각 성분의 절댓값 중 가장 큰 값을 L∞ 노름으로 정의한다.
#### 예시
벡터 \( \mathbf{x} = (3, -7, 2, 5) \)에 대해:
\[
\|\mathbf{x}\|_\infty = \max(|3|, |-7|, |2|, |5|) = 7
\]
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### 함수에 대한 L∞ 노름
연속 함수 \( f: X \to \mathbb{R} \) 또는 \( f: X \to \mathbb{C} \)에 대해서도 L∞ 노름을 정의할 수 있다. 정의역 \( X \) 위에서 함수의 절댓값의 **상한**(supremum)을 취한다.
\[
\|f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)|
\]
만약 \( f \)가 닫힌 유계 구간에서 연속이라면, 최대값이 존재하므로 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다:
\[
\|f\|_\infty = \max_{x \in X} |f(x)|
\]
이 경우, L∞ 노름은 함수의 **균등 수렴**(uniform convergence)과 관련이 깊다.
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## Lp 노름과의 관계
L∞ 노름은 일반적인 Lp 노름의 \( p \to \infty \)일 때의 극한으로 이해할 수 있다. 즉, 벡터 \( \mathbf{x} \)에 대해:
\[
\lim_{p \to \infty} \|\mathbf{x}\|_p = \|\mathbf{x}\|_\infty
\]
여기서 \( \|\mathbf{x}\|_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \)이다.
### 직관적 설명
p가 커질수록 큰 성분이 노름 계산에 더 영향을 미친다. 따라서 \( p \to \infty \)일 때, 가장 큰 성분이 압도적으로 두드러지게 되고, 결국 최대값만이 남게 된다.
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## 성질
L∞ 노름은 다음과 같은 노름의 공리를 만족한다:
1. **비음성성**: \( \|\mathbf{x}\|_\infty \geq 0 \), 그리고 \( \|\mathbf{x}\|_\infty = 0 \)일 필요충분조건은 \( \mathbf{x} = \mathbf{0} \)
2. **동차성**: \( \|\alpha \mathbf{x}\|_\infty = |\alpha| \cdot \|\mathbf{x}\|_\infty \) (모든 스칼라 \( \alpha \))
3. **삼각 부등식**: \( \|\mathbf{x} + \mathbf{y}\|_\infty \leq \|\mathbf{x}\|_\infty + \|\mathbf{y}\|_\infty \)
또한, L∞ 노름은 **치환 불변성**(permutation invariance)을 가지며, 벡터 성분의 순서에 영향을 받지 않는다.
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## 응용 분야
### 1. 수치해석
수치해석에서 오차를 평가할 때, 절대 오차의 최댓값을 측정하기 위해 L∞ 노름을 사용한다. 예를 들어, 근사해 \( \mathbf{u}_h \)와 참값 \( \mathbf{u} \) 사이의 오차 벡터 \( \mathbf{e} = \mathbf{u}_h - \mathbf{u} \)에 대해:
\[
\|\mathbf{e}\|_\infty = \max_i |e_i|
\]
이 값은 **최악의 경우 오차**(worst-case error)를 나타내며, 안정성 분석에 중요하다.
### 2. 최적화
L∞ 노름은 **미니맥스 최적화**(minimax optimization) 문제에서 자주 등장한다. 예를 들어, 다음과 같은 문제:
\[
\min_{\mathbf{x}} \max_i |a_i^T \mathbf{x} - b_i|
\]
이는 \( \min \|\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b}\|_\infty \) 형태로 표현되며, 선형계획법으로 변환 가능하다.
### 3. 신호 처리
신호의 피크 크기(peak magnitude)를 측정할 때 L∞ 노름을 사용한다. 예를 들어, 디지털 오디오 신호의 최대 진폭을 평가하는 데 유용하다.
### 4. 제어론
시스템의 외란 억제 성능을 평가할 때, H∞ 제어 이론에서 L∞ 노름이 주파수 도메인에서의 전달 함수의 최대 이득을 측정하는 데 사용된다.
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## 관련 개념
| 개념 | 설명 |
|------|------|
| L¹ 노름 | \( \|\mathbf{x}\|_1 = \sum |x_i| \), 희소성(sparse) 추구에 사용됨 |
| L² 노름 | \( \|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\sum |x_i|^2} \), 유클리드 거리 |
| Lp 노름 | 일반화된 노름: \( \|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum |x_i|^p\right)^{1/p} \) |
| 노름 공간 | 노름이 정의된 벡터 공간, 특히 \( L^\infty \) 공간은 유계 함수들의 공간 |
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## 참고 자료 및 관련 문서
- **[Lp 공간](https://ko.wikipedia.org/wiki/Lp_%EA%B3%BC%EB%B6%99)**: 다양한 Lp 노름이 정의되는 함수 공간
- **[노름 (수학)](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%85%B8%EB%A9%B4)**: 벡터 공간에서 거리 개념의 일반화
- **[함수해석학](https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%A8%EC%88%98%ED%95%B4%EC%84%9D%ED%95%99)**: 무한 차원 공간에서의 노름과 수렴 개념
- **[최적화 이론](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94_%EC%9D%B4%EB%A1%A0)**: 미니맥스 문제와 L∞ 노름의 활용
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## 결론
L∞ 노름은 벡터 또는 함수의 **가장 큰 절댓값 성분**을 기준으로 크기를 측정하는 간단하면서도 강력한 도구이다. 특히 최악의 상황을 평가하거나 균등한 경계를 설정할 필요가 있는 분야에서 핵심적인 역할을 한다. 다른 Lp 노름들과 함께, L∞ 노름은 선형대수학과 응용수학 전반에서 기초적인 개념으로 자리 잡고 있으며, 수학적 분석과 공학적 응용 모두에서 필수적인 요소로 여겨진다.